Pengasingan pembolehubah

PPS Linear boleh dikurangkan kepada sistem persamaan pembezaan biasa dengan teknik yang penting pemisahan pembolehubah. Logik teknik ini boleh mengelirukan apabila kenalan pertama, tetapi ia bergantung kepada keunikan penyelesaian kepada persamaan pembezaan: seperti ODEs, jika seseorang itu boleh mencari apa-apa penyelesaian yang menyelesaikan persamaan dan memenuhi syarat-syarat sempadan, maka ia adalah penyelesaian. Kami menganggap sebagai ansatz bahawa pergantungan penyelesaian di ruang dan masa boleh ditulis sebagai hasil daripada terma-terma yang sama bergantung kepada koordinat tunggal, dan kemudian melihat jika dan bagaimana ini boleh dibuat untuk menyelesaikan masalah tersebut.

Dalam kaedah pemisahan pembolehubah, salah satu mengurangkan PPS kepada PPS lebih sedikit pembolehubah, yang merupakan PPB jika dalam satu pembolehubah - ini pula lebih mudah untuk menyelesaikan.

Ini tidak mustahil bagi PPS yang mudah, yang dikenali sebagai [[persamaan pembezaan separa diasingkan], dan domain biasanya segi empat tepat (produk selang). PPS diasingkan sesuai dengan matriks pepenjuru - memikirkan "nilai untuk tetap x" seperti koordinat, setiap koordinat boleh difahami secara berasingan.

Ini generalisasi kepada kaedah ciri-ciri, dan juga digunakan dalam perubahan kamiran.

Kaedah ciri-ciri

Dalam kes-kes khas, seseorang itu boleh mencari lengkung ciri yang persamaan mengurangkan kepada PPB - perubahan koordinat dalam domain untuk meluruskan lengkung ini membolehkan pemisahan pembolehubah, dan dipanggil kaedah ciri-ciri.

Secara amnya, seseorang boleh mencari permukaan ciri.

Perubahan kamiran

Satu perubahan kamiran boleh mengubah PPS kepada yang mudah, khususnya PPS diasingkan. Ini sepadan dengan mempepenjurukan pengendali.

Satu contoh penting ini adalah analisis Fourier, yang mempepenjurukan persamaan haba menggunakan eigenbasis gelombang sinusoidal.

Jika domain adalah terhad atau berkala, sejumlah penyelesaian yang tidak terhingga seperti siri Fourier adalah sesuai, tetapi penting bagi penyelesaian seperti kamiran Fourier secara amnya diperlukan untuk domain terbatas. Penyelesaian untuk titik punca bagi persamaan haba yang diberikan di atas adalah satu contoh bagi penggunaan kamiran Fourier.

Perubahan pembolehubah

Selalunya PPS boleh dikurangkan kepada satu bentuk mudah dengan penyelesaian yang dikenali oleh perubahan pembolehubah. Sebagai contoh PPS Black-Scholes

∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}

adalah dikurangkan kepada persamaan haba

∂ u ∂ τ = ∂ 2 u ∂ x 2 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}

dengan perubahan pembolehubah (untuk maklumat lengkap lihat Penyelesaian Persamaan Black Scholes)

V ( S , t ) = K v ( x , τ ) {\displaystyle V(S,t)=Kv(x,\tau )} x = ln ⁡ ( S K ) {\displaystyle x=\ln \left({\tfrac {S}{K}}\right)} τ = 1 2 σ 2 ( T − t ) {\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t)} v ( x , τ ) = exp ⁡ ( − α x − β τ ) u ( x , τ ) . {\displaystyle v(x,\tau )=\exp(-\alpha x-\beta \tau )u(x,\tau ).}

Penyelesaian asas

Persamaan tak homogen selalunya boleh diselesaikan (bagi PPS pekali malar, sentiasa diselesaikan) dengan mencari penyelesaian asas (penyelesaian untuk sumber titik), kemudian mengambil kekusutan dengan syarat-syarat sempadan untuk mendapatkan penyelesaian .

Ini adalah mirip dalam pemprosesan isyarat untuk memahami penapis oleh itu sambutan dedenyut.

Prinsip Tindihan

Kerana apa-apa tindihan penyelesaian daripada lelurus, homogen PPS sekali lagi penyelesaian, penyelesaian yang tertentu, maka boleh digabungkan untuk mendapatkan penyelesaian yang lebih umum.

Kaedah persamaan bukan lelurus

. Lihat juga senarai persamaan kebezaan separa lelurus

Tiada kaedah umum yang terpakai untuk menyelesaikan PPS bukan lelurus. Namun, kewujudan dan keunikan keputusan (seperti Cauchy-Kowalevski teorem) sering mungkin, adalah bukti kualitatif yang penting dan ciri-ciri kuantitatif penyelesaian (mendapat keputusan ini adalah sebahagian besar daripada [[analisis matematik | analisis] ]). Penyelesaian pengiraan kepada PPS lelurus, yang kaedah split-langkah, wujud untuk persamaan tertentu seperti persamaan Schrödinger lelurus.

Walau bagaimanapun, beberapa teknik boleh digunakan untuk beberapa jenis persamaan. The h-prinsip adalah kaedah yang paling berkesan untuk menyelesaikan underdetermined persamaan. The Riquier-Janet teori adalah satu kaedah yang berkesan untuk mendapatkan maklumat tentang banyak analisis overdetermined sistem.

The kaedah ciri (kaedah jelmaan persamaan) boleh digunakan dalam kes-kes yang sangat istimewa untuk menyelesaikan persamaan pembezaan separa.

Dalam beberapa kes, PPS boleh diselesaikan melalui analisis pengusikan di mana penyelesaian yang dianggap sebagai pembetulan kepada satu persamaan dengan penyelesaian yang diketahui. Alternatif adalah teknik analisis berangka dari skim mudah beza terhingga untuk yangmultigrid lebih matang dan kaedah unsur terhingga. Banyak masalah yang menarik dalam bidang sains dan kejuruteraan diselesaikan dengan cara ini menggunakan komputer, kadang-kadang Supercomputer prestasi tinggi.

Kaedah kumpulan Lie

Dari tahun 1870 kerja Sophus Lie berkenaan teori persamaan pembezaan di atas landasan yang lebih memuaskan. Dia menunjukkan bahawa teori-teori integrasi ahli matematik lebih tua juga boleh, kini dikenali sebagai kumpulan Lie, dirujuk kepada sumber yang sama, dan bahawa persamaan pembezaan biasa yang mengakui transformasi sangat kecil yang sama membentangkan kesukaran setanding integrasi. Beliau juga menekankan subjek transformasi hubungan.

Satu pendekatan umum untuk menyelesaikan PPS ini menggunakan sifat simetri persamaan pembezaan, penyelesaian transformasi sangat kecilyang berterusan kepada penyelesaian (teori Lie). Kumpulan teoriyang berterusan, aljabar Lie dan geometri kebezaan yang digunakan untuk memahami struktur persamaan kebezaan separa lelurus dan bukan lelurus untuk menjana persamaan terkamir, untuk mencari pasanngan Lax, pengendali rekursi, perubahan Bäcklund dan akhirnya mencari penyelesaian analisis yang tepat kepada PPS.

Kaedah simetri telah diiktiraf untuk mengkaji persamaan pembezaan yang timbul dalam matematik, fizik, kejuruteraan dan pelbagai bidang lain.

Kaedah Semianalitikel

Kaedah penguraian adomian, kaedah parameter kecil tiruan Lyapunov, dan kaedah pengusikan homotopinya adalah semua kes-kes khas yang lebih umum kaedah analisis homotopi. Ini adalah kaedah pengembangan siri, dan kecuali untuk kaedah Lyapunov, adalah bebas daripada parameter fizikal kecil berbanding dengan teori usikan yang terkenal, sekali gus memberi kaedah ini lebih banyak fleksibiliti dan keluasan penyelesaian.